گازهای ایده‌آل

میلاد فرهنگ

ملاصدرا 1

کلاس 06

گاز ایده‌آل
گاز آرمانی یک تقریب از گازهای حقیقی است که برای مقاصد محاسباتی بکار می‌رود. گاز ایده‌آل به گازی گفته می‌شود که:
    بین ذرات آن نیرویی وجود نداشته باشد و تنها برهم‌کنش بین ذرات، برخورد صلب باشد.
    اندازهٔ ذرات نسبت به مسیر آزاد میانگین ناچیز باشد.
گازهای حقیقی را در چگالی‌های پایین با تقریب خوبی می‌توان ایده‌آل فرض کرد.
قانون گازهای ایده‌آل
گازهای ایده‌آل در حالت تعادل داخلی از معادلهٔ گاز ایده‌آل پیروی می‌کنند:
PV=nRT
که در آن P فشار داخلی سیستم، V حجم سیستم، n تعداد مول‌های ذرات سیستم، R ثابت جهانی گازها و T دمای سیستم با یکای کلوین است.
اثبات
برای اثبات این قانون، اول لازم است که با قانون‌های بویل و شارل آشنا شویم.
قانون بویل
رابطهٔ بین فشار و حجم یک گاز در ۱۶۶۲ میلادی توسط رابرت بویل (Robert Boyle) اندازه گیری شد. بویل متوجه شد که افزایش فشار وارد شده بر یک گاز با کاهش حجم آن متناسب است. اگر فشار دو برابر شود، حجم به نصف کاهش می‌یابد. اگر فشار سه برابر شود، حجم به یک سوم حجم اولیه اش می‌رسد. قانون بویل می‌گوید که در دمای ثابت، حجم گاز با فشار رابطهٔ عکس دارد:
قانون شارل
رابطهٔ بین حجم و دمای یک گاز در ۱۷۸۷ میلادی توسط ژاک شارل (Jacques Charles) مطالعه شد و نتایج او به طور قابل ملاحظه‌ای توسط شاگردانش ژوزف گیلوساک (Joseph Gay - Lussac) گسترش یافت. براساس این قانون حجم تمام گازها، در فشار ثابت، با دمای مطلق آن گاز رابطهٔ مستقیم دارد:
قانون گازهای ایده آل
در دما و فشار ثابت حجم یک گاز با تعداد مول‌های آن نسبت مستقیم دارد. حجم یک مول گاز نصف حجم اشغال شده توسط ۲ مول گاز می‌باشد. بنابراین قانون و قوانین بویل و شارل می‌توان گفت که:
با استفاده از یک عدد ثابت می‌توان تناسب را به تساوی تبدیل کرد:
که از آن نتیجه می‌شود:
قانون گازهای ایده آل توسط نظریهٔ جنبشی گازها
نمونه‌ای از یک گاز شامل N (عدد آووگادرو) مولکول، هر کدام با جرم m را در نظر بگیرید. اگر این نمونه در مکعبی با یال a باشد، حجم آن برابر خواهد شد با:
با فرض اینکه یک سوم مولکول‌ها در جهت محور x، و دو سوم در جهت محورهای y و z حرکت کنند، آنگاه در هر ۲a حرکت یک مولکول گاز در جهت محور x داخل مکعب، مولکول حداقل یکبار به دیوارهٔ مکعب برخورد می‌کند. با فرض اینکه سرعت میانگین هر مولکول گاز برابر u است، در هر ثانیه هر مولکول گاز به اندازهٔ  برخورد دارد و در هر برخورد به اندازهٔ ۲mu اندازهٔ حرکت آن تغییر می‌کند. پس در هر ثانیه هر مولکول گاز به اندازهٔ زیر به دیوارهٔ مکعب نیرو وارد می‌کند:
از این رو برای تمام مولکولهای گاز می‌توان نوشت: S
فشار عبارت است از نیرو بر سطح. پس:
شکست در تجزیه (خطای lexing): P = frac{tfrac {Nmu^2}{3a}}{a^۲} = frac {Nmu^۲}{۳a^۳} = frac {Nmu^۲}{۳V}
پس می‌توان نوشت:
که KE در آن میانگین انرژی جنبشی مولکولی گاز می‌باشد. و از آنجا که انرزی جنبشی یک گاز (بنابر نظریه جنبشی گازها) با دمای مطلق آن نسبت مستقیم دارد و همچنین  ، پس:
که با ضر کردن عدد ثابتی مثل R، می‌توان تناسب را به تساوی تبدیل کرد: