شرودینگر

مجتبی مرادطلب

معادله شرودینگر، معادله ای است که چگونگی تغییر حالت کوانتومی یک سامانه فیزیکی با زمان را توصیف می کند. این معادله در اواخر سال 1925 فرمول بندی شد و در سال 1926 به وسیله فیزیکدان اتریشی اروین شرودینگر منتشر گردید. در مکانیک کلاسیک، معادله حرکت قانون دوم نیوتن است و فرمولبندی های معادل آن، معادله اویلر-لاگرانژ و معادله هامیلتون هستند. در همه این فرمول بندی ها، برای حل حرکت یک سیستم مکانیکی و پیشگویی ریاضی اینکه سامانه در هر زمان پس از شرایط و پیکربندی های اولیه سیستم چه حالتی خواهد داشت، استفاده می شوند. در مکانیک کوانتومی حالت آنالوگ قانون نیوتن معادله شرودینگر برای یک سامانه کوانتومی، معمولاً اتم ها، مولکولها، ذرات ریز اتمی (آزاد، بسته، موضعی) است. این معادله یک معادله جبری ساده نیست ولی (عموماً) یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی است. معادله دیفرانسیل شامل تابع موج برای سیستم است. همچنین حالت کوانتومی یا بردار حالت نامیده می شود.

در تفسیر استاندارد از مکانیک کوانتومی، تابع موج کاملترین توضیحی است که می توان در مورد یک سامانه فیزیکی داد. راه حل های معادله شرودینگر نه تنها سامانه های مولکولی، اتمی و ریز اتمی را توصیف می کند بلکه سیستم های ماکروسکوپی، حتی کل جهان را نیز توصیف می کنند. همانند قانون دوم نیوتن، معادله شرودینگر از لحاظ ریاضی می تواند به فرمولبندی های دیگر از جمله مکانیک ماتریسی ورنر هایزنبرگ و فرمولبندی انتگرال سطحی زیمان تبدیل شود. همچنین همانند قانون دوم نیوتون، معادله شرودینگر زمان را به طریقی توصیف می کند که برای نظریه های نسبیتی مناسب نیست. مشکلی که در مکانیک ماتریسی به اندازه کافی شدید نیست و در فرمولبندی انتگرال سطحی به طور کامل حضور ندارد.

-معادله وابسته به زمان

شکل معادله شرودینگر به شرایط فیزیکی بستگی دارد (پایین را برای موارد خاص مشاهده کنید). عمومی ترین شکل آن معادله شرودینگری است که تحول زمانی سیستم را نشان میدهد:

 معادله وابسته به زمان شرودینگر(عمومی) , 

که ''Ψ'' تابع موج سیستم کوانتومی، i واحد موهومی، ħ ثابت کاهیده پلانک و عملگر هامیلتونی است که انرژی کل به ازای هر تابع موج داده شده را مشخص می کند و شکل های مختلفی را بسته به شرایط، به خود می گیرد. معروفترین نمونه آن معادله غیر نسبیتی شرودینگر برای ذره ای که در میدان الکتریکی در حال حرکت است، می باشد (نه در میدان مغناطیسی).

 معادله وابسته به زمان شرودینگر برای ذره غیر نسبیتی مفرد , 

که m جرم ذره، V انرژی پتانسیل آن ، ²∇ لاپلاسین و Ψتابع موج است (که با دقت بیشتر ، در این متن، تابع موج فضا مکان نامیده می شود). به عبارت دیگر این معادله می تواند اینگونه توصیف شود: "انرژی کل برابر است با انرژی جنبشی بعلاوه انرژی پتانسیل"، اما کلمات شکل نا مأنوسی به دلایلی که در زیر شرح داده شده اند به خود می گیرند. با توجه به عملگر های دیفرانسیلی خاص درگیر، این معادله، یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی است و همانطور که از اسمش بر می آید معادله موج است. لفظ "معادله شرودینگر" به هر دو، معادله عمومی (اولین جعبه بالا) یا نوع خاص غیر نسبیتی آن (دومین جعبه بالا) اشاره می کند. معادله عمومی به طور واقعی کاملاً عمومی است، که به وسیله مکانیک کوانتومی و برای همه چیز از معادله دیراک گرفته تا برای نظریه کوانتومی به وسیله تبدیل شدن به عبارات پیچیده مختلف برای هامیلتونی، استفاده می شود. نوع خاص غیر نسبیتی شکل ساده شده نزدیک به واقعیت است که در شرایط بسیاری دقیق است و در موارد اندکی دقیق نیست. (مکانیک کوانتومی را ببینید.) برای به دست آوردن معادله شرودینگر، عملگر هامیلتونی برای سیستم جهت محاسبه انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی ذرات تشکیل دهنده سیستم و جایگذاری در معادله شرودینگر تنظیم شده است. معادله دیفرانسیل جزئی بدست آمده برای تابع موج حل می شود که شامل اطلاعاتی درباره سیستم است.

1.2-معادله مستقل از زمان[ویرایش]

معادله مستقل از زمان شرودینگر پیش بینی می کند که توابع موج می توانند امواج ایستاده تشکیل دهند که حالتهای ثابت نامیده می شوند. (همچنین به عنوان اربیتال در اربیتالهای اتمی یا مولکولی نامیده می شوند.) این حالت ها به نوبه ی خود مهم هستند. علاوه بر این اگر این حالت های پایا دسته بندی و تفهیم شوند، حل معادله مستقل از زمان شرودینگر برای هر حالت آسان تر می شود. معادله مستقل از زمان شرودینگر حالت های پایا را توصیف می کند. (این معادله فقط زمانی استفاده می شود که خود هامیلتونی وابسته به زمان نیست.)

 معادله مستقل از زمان شرودینگر(عمومی) . 

به روایت تقریر ، حالات معادله : وقتی که عملگر هامیلتونی به روی تابع موج ''Ψ'' عمل می کند، نتیجه ممکن است با همان تابع موج ''Ψ'' متناسب باشد. اگر اینگونه باشد، ''Ψ'' یک حالت پایا است و ثابت تناسب، E انرژی آن حالت ''Ψ'' است. معادله مستقل از زمان شرودینگر به تفصیل در زیر بحث شده است. در واژگان جبر خطی این معادله، یک معادله ویژه مقداری است. همانند قبل، مشهور ترین شکل معادله غیر نسبیتی شرودینگر برای یک ذره مفرد متحرک در میدان الکتریکی (نه مغناطیسی) است.

معادله مستقل از زمان شرودینگر (یک ذره غیر نسبیتی) .